$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx + \int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધેય $y = f(x)$ ના આલેખ પરના બિંદુ $x = a$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\pi/3$ નો ખૂણો બનાવે છે અને $x = b$ આગળના બિંદુએ $\pi/4$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો સંકલન $\int_{a}^{b} f(x) \cdot f''(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો (ધારો કે $f''(x)$ સતત છે).

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો $x$ એ સમીકરણ $\left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1} \right) x^2 - \left( \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt \right) x - 2 = 0$ $(0 < \alpha < \pi)$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે અને $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ બધા $x \in (1, \infty)$ માટે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$(B)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $g$ એ $(1,2)$ પર વધતું અને $(2, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(D)$ $g$ એ $(1,2)$ પર ઘટતું અને $(2, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$2.$ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$P$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $2f(x)+1=2x(1+x)$
તો
$(A)$ $P$ અને $Q$ બંને સાચા છે
$(B)$ $P$ સાચું છે અને $Q$ ખોટું છે
$(C)$ $P$ ખોટું છે અને $Q$ સાચું છે
$(D)$ $P$ અને $Q$ બંને ખોટા છે
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

ધારો કે $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ જ્યાં $x \in R$ એવું વિધેય છે જે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$ નું સમાધાન કરે છે. તો $(a+b)$ ની કિંમત $............$ છે.